其实三角形内角和是多少度，“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学（ ）中的一个定理。也就是说，在欧几里得几何学里，一个三角形的内角和等于 180°，但如果跳出欧几里得几何学的范围，一个三角形的内角和就不一定等于 180°！

举个栗子，地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应该是 90°，它们的和就是 270°！

你感到奇怪吗？你知道除了欧几里得几何（欧氏几何）学外，还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧（欧几里得）几何学。

欧式几何

想要探索非欧几何，先要了解欧式几何。欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。有时单指平面上的几何，即平面几何。数学老师课堂上教授的就是欧式几何。它有以下几条简单的公理：

这五条“显然”的公理是平面几何的基石，我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目。但机智的你有没有发现第五公设（平行公设）和前面的四个公设比较起来，文字叙述冗长，而且不那么显而易见，有违数学的简洁美感呢?

在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。

罗氏几何的诞生

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得不对。第五公设到底能不能被证明？

到了十八世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（ ）在证明第五公设的过程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研究第五公设的证明，但并没有什么成果，老罗曾告诫自己的儿子“小罗”：“你不要搞第五公理了，我都研究一辈子了，都没搞出来，这简直是数学家的噩梦。”

然而小罗并没有听从老爸的建议。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线不相交”，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

罗氏几何符合双曲面模型

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。

左：欧式几何 右：罗氏几何

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何学（ ），也是我们最早发现的非欧几何学。

罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方，仅仅是把欧氏几何学平行公理“过直线外一点，能并且只能作一条直线平行于已知直线”用“过直线外一点，至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何学内容不同的新命题。

机智的你可能已经发现，上面这些命题和我们的直觉是矛盾的。但是，数学家们经过思考提出，可以用我们习惯的办法作一个直观“模型”来证实它的正确性。

黎曼几何学

那么既然我们能把第五公里改成“过一点，有多条直线与已知直线平行”，是不是也可以改成“过一点，没有直线与已知直线平行”呢？

于是，有个叫黎曼的聪明人，结合欧式几何的前四条公里加上“过一点，没有直线与已知直线平行”创建了自己的几何——黎曼几何。比如，在一个球面上，过直线外一点所画的直线一定与已知直线相交。所以黎曼几何又称椭球几何。

在航海学上黎曼几何也得到了广泛应用。地球本身就是曲面的，如果使用欧式几何，只会得到错误的结论。

：B站 肉兔君

那些有趣的三角形

我们的生活中存在着许多有趣的三角形，他们的内角和或大于180°，或小于180°，有的还被人们巧妙得利用到各个领域。

比如，可以用作运输的莱洛三角形：

谢尔宾斯基三角形：一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，如此无限循环，谢尔宾斯基三角形面积越趋近于零，而它的周长越趋近于无限大。

三维世界不存在的彭罗斯三角形：彭罗斯三角形被称为“最纯粹形式的不可能”，它将三个不同角度的三角顶角整合为一个整体，因而本应是一个平面的面发生了扭转，这样的三角形在三维世界是不可能存在的。

这样的“三角形”被艺术家巧妙地用在作品中，比如世界名画：埃舍尔的《瀑布》。

《瀑布》

还有澳大利亚东珀斯的地标建筑就是彭罗斯三角形的模型。

澳大利亚东珀斯彭罗斯三角形

股民眼中的三角形：三角形整理突破分析是高阶股民必备的技能。

程序员眼中的三角形：行吧，在程序员的世界里，什么都是字母加数字的。

在平面几何中，有哪些方法可以证明或验证三角形的内角和是180°？

在△ABC中，∠A、∠B、∠C是三个内角．想要证明∠A+∠B+∠C=180°，也就是要想法证明∠A+∠B+∠C=一个平角．也就是想把三个角集中到一块，用什么方法好呢?——这就需要用到平行线性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，等性质来证明。

证明方法一：

(1)延长BC到D (运用“线段可以延长”这一真实命题)

(2)过C点作CE∥AB。(运用“过直线外一点可以作已知直线的平行线”)

(3)∠A=∠1(运用“两直线平行，内错角相等”)

(4)∠B=∠2 (运用“两直线平行，同位角相等”)

(5)∠1+∠2+∠ACB=180°(运用“平角的度数”)

(6)∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠C（运用“等量可以代换”）

(7)∠A+∠B+∠ACB=180°（运用“等量代换”）

证明方法二：

（1）过点A作PQ∥BC

（2）∠1=∠B(两直线平行,内错角相等)

（3）∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)

（4）又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义)

（5）∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换)

证明方法三：

（1）过点A作PQ∥BC，则

（2）∠1=∠C(两直线平行,内错角相等)

（3）∠BAQ+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)

（4）又∵∠BAQ=∠1+∠2 (平角的定义)

（5）∴ ∠2+∠B+∠C=180° (等量代换)

证法方法四：

在BC边上任取一点D，作DE∥BA，DF∥CA，分别交AC于E，交AB于F，

（1）则有∠2＝∠B，∠3＝∠C(两直线平行，同位角相等)，

（2）∠1＝∠4(两直线平行，内错角相等)，

（3）∠4＝∠A(两直线平行，同位角相等)，

（4）∴∠1＝∠A(等量代换).

（5）又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定义)，

（6）∴∠A+∠B+∠C＝180°.

上面四种证明思路，都是化归思想的体现。所谓化归思想，就是在面临新问题时，总企图将它转化归结为已经解决了的问题或者比较熟悉的问题来解决。要证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小是180°。因此，便设法将三角形的三个内角拼成一个平角三角形内角和是多少度，为此，用辅助线构造出一个平角，再用辅助线(平行线)"移动"内角，将其集中起来，或用其它方法将其集中起来，这就是"拼角"的思路.化归思想是一种重要的解题策略，它可以帮助我们确定思考的方向.小学数学尤其是几何教学中，很多问题都可以运用化归思想来解决。

小学有哪些方法可以用来验证“三角形内角和是180°”？

(1)用量角器量的方法。用量角器分别测出三角形三个内角，并把三个内角的度数加起来进行验证。这种方法由于存在测量的误差，使学生对结论产生怀疑，只能验证三角形的内角和接近180°。

(2)撕、拼的方法。把三角形的三个内角分别编号后撕下来，再把三个内角拼在一起与平角进行比较，从而得到三角形三个内角拼在一起是一个平角。

(3)折叠的方法。如图放置的锐角三角形，∠2沿中位线往下折，∠3和∠1往里折，三个角折在一起拼成一个平角。类似的，钝角三角形和直角三角形也能用折叠法进行验证。

(4)“旋转调头“法。把一个带方向的箭头按下图1那样放置，然后按前头方向进行旋转，最后会发现箭头与左图比，正好“调了一个头”，即箭头旋转了180°。

(5)“旋转一周“法。把一个带方向的箭头在三角形的每一个外角进行旋转，最后会发现箭头与开始相比，正好旋转一周，即箭头旋转了360°，那么三角形的内角和为180°。

从普通的、众所周知的事实出发，步步深入、推广，挖掘出广泛适用的深刻规律。从这里显示出数学家透彻、犀利的目光，也表现了数学家穷追不舍、孜孜以求的探索真理的精神。数学的意义就在于，它经常走在其他科学的前面，我们通过数学的研究，可以为其他科学提供很多帮助。你还不爱数学吗？

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